対数不等式の解法

底をそろえる（対数計算の手順に従う）．
${log}_{a} x > {log}_{a} k$ ${log}_{a} x > {log}_{a} k$ （不等号は<，≧，≦の場合もある）の形に式を導びく．導けない場合は3へ
- $a > 1$ $a > 1$ の場合
  
  答えは $x > k$ $x > k$
- $0 < a < 1$ $0 < a < 1$ の場合
  
  答えは $x < k$ $x < k$ 注意：不等号の符号の向きが逆になる．
${log}_{a} f (x) > {log}_{a} k$ ${log}_{a} f (x) > {log}_{a} k$ の形に式を導びく．導けない場合は4へ
- $a > 1$ $a > 1$ の場合
  
  答えは $f (x) > k$ $f (x) > k$ を解くことによって得られる．
- $0 < a < 1$ $0 < a < 1$ の場合
  
  答えは $f (x) > k$ $f (x) > k$ を解くことによって得られる．注意：不等号の符号の向きが逆になる．
方程式が上記の形に導けない場合は， ${log}_{a} x = t$ ${log}_{a} x = t$ とおいて整式に帰着する．

まず $t$ $t$ について解き，得られた $t$ $t$ より $x$ $x$ を求める．

例： ${({log}_{2} x)}^{2} + {log}_{2} 4 x^{3} > 0$ ${({log}_{2} x)}^{2} + {log}_{2} 4 x^{3} > 0$

この場合， ${log}_{2} x$ ${log}_{2} x$ に着目し， ${log}_{2} x = t$ ${log}_{2} x = t$ とおいて与式を以下のように解く

$\begin{array}{l} {({log}_{2} x)}^{2} + {log}_{2} 4 x^{3} > 0 \\ {({log}_{2} x)}^{2} + {log}_{2} 4 + {log}_{2} x^{3} > 0 \\ {({log}_{2} x)}^{2} + 3 {log}_{2} x + {log}_{2} 4 > 0 \\ t^{2} + 3 t + 2 = 0 \\ (t + 2) (t + 1) > 0 \\ t > - 1, t < - 2 \end{array}$
- $t > - 1$ のとき
  
  ${log}_{2} x > - 1 \to x > 2^{- 1} = \frac{1}{2}$
- $t < - 2$ のとき
  
  ${log}_{2} x < - 2 \to x < 2^{- 2} = \frac{1}{4}$
よって， $x > \frac{1}{2}, x < \frac{1}{4}$
真数条件(真数が正である条件)を満たしていることを確認する．満たしていないものは除外する．

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最終更新日： 2024年11月1日

対数不等式の解法

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