対数方程式の解法

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底をそろえる（対数計算の手順に従う）．
${log}_{a} x = {log}_{a} k$ ${log}_{a} x = {log}_{a} k$ の形に式を導びく．導けない場合は3へ

答えは $x = k$ $x = k$
${log}_{a} f (x) = {log}_{a} k$ ${log}_{a} f (x) = {log}_{a} k$ の形に式を導びく．導けない場合は4へ

答えは $f (x) = k$ $f (x) = k$ を解くことによって得られる．
方程式が上記の形に導けない場合は， ${log}_{a} x = t$ ${log}_{a} x = t$ とおいて整式に帰着する．

まず $t$ $t$ について解き，得られた $t$ $t$ より $x$ $x$ を求める．

例： ${({log}_{2} x)}^{2} + {log}_{2} 4 x^{3} = 0$ ${({log}_{2} x)}^{2} + {log}_{2} 4 x^{3} = 0$

この場合， ${log}_{2} x$ ${log}_{2} x$ に着目し， ${log}_{2} x = t$ ${log}_{2} x = t$ とおいて与式を以下のように解く

$\begin{array}{l} {({log}_{2} x)}^{2} + {log}_{2} 4 x^{3} = 0 \\ {({log}_{2} x)}^{2} + {log}_{2} 4 + {log}_{2} x^{3} = 0 \\ {({log}_{2} x)}^{2} + 3 {log}_{2} x + {log}_{2} 4 = 0 \\ t^{2} + 3 t + 2 = 0 \\ (t + 2) (t + 1) = 0 \\ t = - 1, - 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} {({log}_{2} x)}^{2} + {log}_{2} 4 x^{3} = 0 \\ {({log}_{2} x)}^{2} + {log}_{2} 4 + {log}_{2} x^{3} = 0 \\ {({log}_{2} x)}^{2} + 3 {log}_{2} x + {log}_{2} 4 = 0 \\ t^{2} + 3 t + 2 = 0 \\ (t + 2) (t + 1) = 0 \\ t = - 1, - 2 \end{array}$
- $t = - 1$ $t = - 1$ のとき
  
  ${log}_{2} x = - 1 \to x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ ${log}_{2} x = - 1 \to x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$
- $t = - 2$ $t = - 2$ のとき
  
  ${log}_{2} x = - 2 \to x = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$ ${log}_{2} x = - 2 \to x = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$
よって，

$x = \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$
真数条件(真数が正である条件)を満たしていることを確認する．満たしていないものは除外する．

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最終更新日： 2024年11月1日