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  ${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m^{}}=\sqrt[n]{a^m}}$ の証明 

${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m^{}}=x}$  とおく．

まず，両辺をn  乗する．

${\displaystyle {\left\{{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m\right\}}^n=x^n}$

指数法則 ${\displaystyle {\left(p^m\right)}^n=p^{mn}}$  を用いると

${\displaystyle {\left\{{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m\right\}}^n={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{mn}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{nm}}$${\displaystyle ={\left\{{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n\right\}}^m}$${\displaystyle =a^m}$

よって

${\displaystyle x^n=a^m}$

また

${\displaystyle a^m>0}$ ，${\displaystyle x>0}$

であるので，累乗根の定義より

${\displaystyle x=\sqrt[n]{a^m}}$

すなわち，

${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m^{}}=\sqrt[n]{a^m}}$

となる．

 

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最終更新日： 2023年7月28日

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