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  ${\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}}$ の証明 

${\displaystyle \sqrt[n]{a^m}=x}$ とおく．

まず，両辺をm  乗する．

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left\{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right\}}^m=x^m\\ \sqrt[n]{a}=x^m\end{array}}$

さらに，両辺をn  乗する．

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n={\left(x^m\right)}^n\\ a={\left(x^m\right)}^n\end{array}}$

指数法則 ${\displaystyle {\left(p^m\right)}^n=p^{mn}}$  を用いると

${\displaystyle {\left(x^m\right)}^n=x^{mn}}$

よって

${\displaystyle x^{mn}=a}$

また，

${\displaystyle a>0}$ ，${\displaystyle x>0}$

であるので，累乗根の定義より

${\displaystyle x=\sqrt[mn]{a}}$

すなわち

${\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}}$

となる．

 

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最終更新日： 2023年7月28日

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