恒等式

恒等式とは，等式に含まれている文字に任意の文字を代入しても，その等式の両辺の値が存在する限りつねになりたつ等式のこと．

整式の等式の性質

$a x^{2} + b x + c = 0$ が文字 $x$ について恒等式 $\Leftrightarrow$ $a = b = c = 0$ （係数＝0）

恒等式であるので $x = - 1, 0, 1$ を代入しても等式は成り立ちます．よって

${\begin{cases} a - b + c = 0 \\ c = 0 \\ a + b + c = 0 \end{cases}$

の連立方程式が得られます．これを解くと $a = b = c = 0$ となります．

$a x^{2} + b x + c = a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}$ が文字 $x$ について恒等式

$\Leftrightarrow$ $a = a^{'}, b = b^{'}, c = c^{'}$ （同じ次数の係数が等しい）

$a x^{2} + b x + c = a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}$ を右辺－左辺＝0に式を変形する．すると

$(a - a^{'}) x^{2} + (b - b^{'}) x + (c - c^{'}) = 0$

が得られる．性質1より， $a = a^{'}, b = b^{'}, c = c^{'}$ が導かれる．

2次の整式について示したが，上の性質は $n$ 次の整式でも成り立つ．

恒等式の問題では，係数を求めなければならない場合がよくある．このような問題を解く手法として

数値代入法：適当な数値を代入して，係数の連立方程式を作り解く．
　　　　　　　　　　　（ $n$ 次の恒等式であれば $n - 1$ 個の数値を代入する必要がある．）
係数比較法：両辺の同じ次数の項の係数を比較する連立方程式を作り解く．

がある．

最終更新日： 2023年7月14日