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シュワルツの不等式

■  $\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geqq {\left(ax+by\right)}^2$

等号がなりたつのは

${\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}}$

のとき．

●証明

${\displaystyle \left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)-{\left(ax+by\right)}^2}$

${\displaystyle =a^2{x}^2+a^2{y}^2}$ ${\displaystyle +b^2{x}^2+b^2{y}^2}$ ${\displaystyle -a^2{x}^2-2abxy-b^2{y}^2}$

${\displaystyle =a^2{y}^2-2abxy+b^2{x}^2}$

${\displaystyle ={\left(ay-bx\right)}^2\geqq 0}$

∴　 ${\displaystyle \left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geqq {\left(ax+by\right)}^2}$

因数分解，平方完成で不等式を証明している．不等式の証明ページを参照．

等号が成り立つのは

${\displaystyle ay-bx=0\to ay=bx}$  

の場合である．

${\displaystyle a\ne 0,b\ne 0}$ であれば

${\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}}$

の場合である．

■  ${\displaystyle \left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}$ ${\displaystyle \geqq {\left(ax+by+cz\right)}^2}$

等号がなりたつのは

${\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}}$

のとき．

●証明

${\displaystyle \left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}$ ${\displaystyle -{\left(ax+by+cz\right)}^2}$

${\displaystyle =a^2{x}^2+a^2{y}^2+a^2{z}^2}$ ${\displaystyle +b^2{x}^2+b^2{y}^2+b^2{z}^2}$ ${\displaystyle +c^2{x}^2+c^2{y}^2+c^2{z}^2}$ ${\displaystyle -a^2{x}^2-b^2{y}^2-c^2{z}^2}$ ${\displaystyle -2abxy-2bcyx-2cazx}$

${\displaystyle =a^2{y}^2+a^2{z}^2}$ ${\displaystyle +b^2{x}^2+b^2{z}^2}$ ${\displaystyle +c^2{x}^2+c^2{y}^2}$ ${\displaystyle -2abxy-2bcyx-2cazx}$

${\displaystyle =\left(a^2{y}^2-2abxy+b^2{x}^2\right)}$ ${\displaystyle +\left(b^2{z}^2-2bcyx+c^2{y}^2\right)}$ ${\displaystyle +\left(c^2{x}^2-2cazx+a^2{z}^2\right)}$

${\displaystyle ={\left(ay-bx\right)}^2+{\left(bz-cy\right)}^2+{\left(cx-az\right)}^2}$ ${\displaystyle \geqq 0}$

∴ ${\displaystyle \left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}$ ${\displaystyle \geqq {\left(ax+by+cz\right)}^2}$

平方完成で不等式を証明している．不等式の証明ページを参照．

等号が成り立つのは

${\displaystyle ay-bx=0,}$ ${\displaystyle bz-cy=0,}$ ${\displaystyle cx-az=0\to ay=bx,}$ ${\displaystyle bz=cy,}$ ${\displaystyle cx=az}$

の場合である．

${\displaystyle a\ne 0,b\ne 0,c\ne 0}$ であれば

${\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}}$  

の場合である．

• 文字数をｎ 個に拡張した場合．

  ${\displaystyle {\displaystyle (\sum _{k=1}^n{a_k}^2)(\sum _{k=1}^n{x_k}^2)\geqq {\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{x}_k\right)}^2}}$

• 定積分に拡大した場合．

  ${\displaystyle a\leqq b}$  ならば

${\displaystyle {\int }_a^b\left(f{\left(x\right)}^{2}dx\right){\int }_a^b\left(g{\left(x\right)}^{2}dx\right)}$ ${\displaystyle \geqq {\left({\int }_a^b\left(f\left(x\right)g\left(x\right)dx\right)\right)}^2}$

　

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最終更新日： 2025年4月26日

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