シュワルツの不等式

■ $(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) ≧ {(a x + b y)}^{2}$

等号がなりたつのは

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$

のとき．

●証明

$(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) - {(a x + b y)}^{2}$

$= a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}$ $+ b^{2} x^{2} + b^{2} y^{2}$ $- a^{2} x^{2} - 2 a b x y - b^{2} y^{2}$

$= a^{2} y^{2} - 2 a b x y + b^{2} x^{2}$

$= {(a y - b x)}^{2} ≧ 0$

∴　 $(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) ≧ {(a x + b y)}^{2}$

因数分解，平方完成で不等式を証明している．不等式の証明ページを参照．

等号が成り立つのは

$a y - b x = 0 \to a y = b x$

の場合である．

$a \neq 0, b \neq 0$ であれば

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$

の場合である．

■ $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ $≧ {(a x + b y + c z)}^{2}$

等号がなりたつのは

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$

のとき．

●証明

$(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ $- {(a x + b y + c z)}^{2}$

$= a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} + a^{2} z^{2}$ $+ b^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} + b^{2} z^{2}$ $+ c^{2} x^{2} + c^{2} y^{2} + c^{2} z^{2}$ $- a^{2} x^{2} - b^{2} y^{2} - c^{2} z^{2}$ $- 2 a b x y - 2 b c y x - 2 c a z x$

$= a^{2} y^{2} + a^{2} z^{2}$ $+ b^{2} x^{2} + b^{2} z^{2}$ $+ c^{2} x^{2} + c^{2} y^{2}$ $- 2 a b x y - 2 b c y x - 2 c a z x$

$= (a^{2} y^{2} - 2 a b x y + b^{2} x^{2})$ $+ (b^{2} z^{2} - 2 b c y x + c^{2} y^{2})$ $+ (c^{2} x^{2} - 2 c a z x + a^{2} z^{2})$

$= {(a y - b x)}^{2} + {(b z - c y)}^{2} + {(c x - a z)}^{2}$ $≧ 0$

∴ $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ $≧ {(a x + b y + c z)}^{2}$

平方完成で不等式を証明している．不等式の証明ページを参照．

等号が成り立つのは

$a y - b x = 0,$ $b z - c y = 0,$ $c x - a z = 0 \to a y = b x,$ $b z = c y,$ $c x = a z$

の場合である．

$a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$ であれば

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$

の場合である．

文字数をｎ個に拡張した場合．

$(\sum_{k = 1}^{n} {a_{k}}^{2}) (\sum_{k = 1}^{n} {x_{k}}^{2}) ≧ {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} x_{k})}^{2}$
定積分に拡大した場合．

$a ≦ b$ ならば

$\int_{a}^{b} (f {(x)}^{2} d x) \int_{a}^{b} (g {(x)}^{2} d x)$ $≧ {(\int_{a}^{b} (f (x) g (x) d x))}^{2}$

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最終更新日： 2023年7月27日