フーリ変換(フーリエ余弦変換，フーリエ正弦変換)

$f (x)$ が偶関数のとき

$f (x) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} F_{c} (ω) \cos ω x d ω$

$F_{c} (ω) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f (x) \cos ω x d x$

となる． $F_{c} (ω)$ を $f (x)$ のフーリエ余弦変換という．

$f (x)$ が奇関数のとき

$f (x) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} F_{s} (ω) \sin ω x d ω$

$F_{s} (ω) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f (x) \sin ω x d x$

となる． $F_{s} (ω)$ を $f (x)$ のフーリエ正弦変換という．

■導出

$f (x) = \int_{0}^{\infty} \{G (ω) \cos ω x + H (ω) \sin ω x\} d ω$

$\frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \cos ω v d v = G (ω)$

$\frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \sin ω v d v = H (ω)$

において， $f (x)$ が偶関数のとき， $v$ の関数 $f (v) \cos ω v$ は偶関数になるので

$G (ω) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \cos ω v d v$ $= \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} f (v) \cos ω v d v$

$v$ の関数 $f (v) \sin ω v$ は奇関数になるので

$H (ω) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \sin ω v d v = 0$

となり

$f (x) = \int_{0}^{\infty} G (ω) \cos ω x d ω$ 　･･････(1)

となる．

$f (x)$ が奇関数のとき， $v$ の関数 $f (v) \cos ω v$ は奇関数になるので

$G (ω) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \cos ω v d v = 0$

$v$ の関数 $f (v) \sin ω v$ は偶関数になるので

$H (ω) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \sin ω v d v$ $= \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} f (v) \sin ω v d v$

となり

$f (x) = \int_{0}^{\infty} H (ω) \sin ω x d ω$ 　･･････(2)

となる．(1)，(2)の積分変数 $v$ を $x$ に書き直し，さらに

$G (ω) = \sqrt{\frac{2}{π}} F_{c} (ω)$ ， $H (ω) = \sqrt{\frac{2}{π}} F_{s} (ω)$

と置き直すと

$f (x)$ が偶関数のとき

$f (x) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} F_{c} (ω) \cos ω x d ω$

$F_{c} (ω) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f (x) \cos ω x d x$

となり， $f (x)$ が奇関数のとき

$f (x) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} F_{s} (ω) \sin ω x d ω$

$F_{s} (ω) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f (x) \sin ω x d x$

となる．

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最終更新日： 2023年7月3日