等比数列の和

初項 $a_{1}$ ，公比 $r$ の等比数列 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ の第 $n$ 項までの和は

$r \neq 1$ のとき

$S_{n} = \sum_{m = 1}^{n} a_{m} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}$ $= \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$
$r = 1$ のとき

$S_{n} = \sum_{m = 1}^{n} a_{m} = a_{1} n$

となる．

■公式の導出

第 $n$ 項までの和は

$[1] r = 1$ のとき

$S_{n} = a_{1} + a_{1} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{1}$

$= n a_{1}$

$[2] r \neq 1$ のとき

$S_{n} = a_{1} + a_{1} r + a_{1} r^{2} + a_{1} r^{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{1} r^{n - 1}$

-) r S_{n} = a_{1} r + a_{1} r^{2} + a_{1} r^{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{1} r^{n - 1} + a_{1} r^{n}

\bar{(1 - r) S_{n} = a_{1} - a_{1} r^{n}}

右辺を因数分解すると

$(1 - r) S_{n} = a_{1} (1 - r^{n})$

$S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

よって

$[1], [2]$ より，第 $n$ 項までの和は

$r \neq 1$ のとき

$S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$
$r = 1$ のとき

$S_{n} = a_{1} n$

となる．

最終更新日： 2025年4月26日