演習問題

半径 ${\displaystyle r\left[\text{m}\right]}$ で等速円運動する質量 ${\displaystyle m}$ の物体の位置ベクトルが ${\displaystyle \overrightarrow{r_{}}=\left(r\cos \omega t,r\sin \omega t\right)}$ で与えられる．ここで ${\displaystyle \omega \left[\text{rad/s}\right]}$ は角速度， ${\displaystyle t\left[\text{s}\right]}$ は時間を示す．

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,3)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(2,4)}$ の内積を求めよ．

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(\sqrt{5}-1,\sqrt{3})}$，${\displaystyle \overrightarrow{b}=(\sqrt{5}+1,-\sqrt{3})}$ の内積を求めよ．

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(3,1\right)}$ のなす角を求めよ．

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(5,0\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(-1,\sqrt{3}\right)}$ のなす角を求めよ．

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2\right)}$ とするとき， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}}$ が直交するような ${\displaystyle t}$ を求めよ．

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(5,0\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(t-6,t^2\right)}$ とするとき，
${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ が直交するような${\displaystyle t}$ を求めよ．

答

${\displaystyle t=6}$

空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,2,2)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(2,1,2)}$ の内積を求めよ．

空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(4,1,1)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,4,1)}$ のなす角を求めよ．

空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,1,\sqrt{2})}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,2,\sqrt{3})}$ のなす角を ${\displaystyle \theta }$ するとき，${\displaystyle cos\theta }$求めよ．

原点と空間上の２点 $\text{A}\left(4,3,1\right)$ ， $\text{B}\left(2,1,2\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

空間上の3点 $\text{A}\left(4,1,3\right)$ ， $\text{B}\left(1,2,1\right)$ ， $\text{C}\left(2,-1,2\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}\left(4,3,2\right)}$ を通り， ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(2,4,5\right)}$ に垂直な平面の方程式を求めよ．

空間座標上の点${\displaystyle \text{A}\left(1,0,2\right)}$ を通り，${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(1,3,2\right)}$ に垂直な平面の方程式を求めよ．

${\displaystyle x+3y+2z=5}$

空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}\left(2,3,-4\right)}$ を通り， ${\displaystyle z}$ 軸 に垂直な平面の方程式を求めよ．