ベルヌーイの微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+y=y^2}$

■答

${\displaystyle y=\frac{1}{1+C{e}^x}}$　（${\displaystyle C}$は任意定数）

■ヒント

ベルヌーイ微分方程式の解法

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$ 　(${\displaystyle n\ne 0,1}$)

${\displaystyle z=y^{1-n}}$とおいて，これを ${\displaystyle x}$と ${\displaystyle z}$の微分方程式に書き換えれば，線形微分方程式になる．

(⇒詳しくはこちら)

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+y=y^2}$ ･･････(1)

${\displaystyle z=y^{-1}}$  ･･････(2)

とおき，(2)式を${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle z^{\prime }=-y^{-2}{y}^{\prime }}$

${\displaystyle z^{\prime }=-\frac{1}{y^2}{y}^{\prime }}$

この式の両辺に${\displaystyle -y^2}$をかけると

${\displaystyle y^{\prime }=-y^2{z}^{\prime }}$

これを(1)式に代入すると

${\displaystyle -y^2{z}^{\prime }+y=y^2}$

この式の両辺を${\displaystyle -y^2}$で割ると

${\displaystyle z^{\prime }-\frac{1}{y}=-1}$  ･･････(3)

${\displaystyle z=y^{-1}=\frac{1}{y}}$ なので(3)式に代入すると

${\displaystyle z^{\prime }-z=-1}$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$　（${\displaystyle C}$は任意定数）

このことを利用すると

${\displaystyle z=e^{{\displaystyle \int dx}}\left({\displaystyle \int -e^{-{\displaystyle \int dx}}dx}+C\right)}$

積分すると

${\displaystyle z}$${\displaystyle =e^{{\displaystyle \int dx}}\left({\displaystyle \int -e^{-{\displaystyle \int dx}}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^x\left({\displaystyle \int -e^{-x}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^x\left(e^{-x}+C\right)}$

${\displaystyle =1+C{e}^x}$

${\displaystyle z=y^{-1}}$ を代入すると

${\displaystyle \frac{1}{y}=1+C{e}^x}$

したがって

${\displaystyle y=\frac{1}{1+C{e}^x}}$

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最終更新日： 2023年6月13日