ベルヌーイの微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=y^3}$

■答

${\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{2x+C{x}^2}}}$　（${\displaystyle C}$は任意定数）

■ヒント

ベルヌーイ微分方程式の解法

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$ 　　(${\displaystyle n\ne 0,1}$)

${\displaystyle z=y^{1-n}}$とおいて，これを ${\displaystyle x}$と ${\displaystyle z}$の微分方程式に書き換えれば，線形微分方程式になる．

(⇒詳しくはこちら)

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=y^3}$ ･･････(1)

${\displaystyle z=y^{-2}}$  ･･････(2)

とおき，(2)式を${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle z^{\prime }=-2y^{-3}{y}^{\prime }}$

${\displaystyle z^{\prime }=-\frac{2}{y^3}{y}^{\prime }}$

この式の両辺に${\displaystyle -\frac{1}{2}{y}^3}$をかけると

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{1}{2}{y}^3{z}^{\prime }}$

これを(1)式に代入すると

${\displaystyle -\frac{1}{2}{y}^3{z}^{\prime }+\frac{y}{x}=y^3}$

この式の両辺を${\displaystyle -y^3}$で割ると

${\displaystyle \frac{1}{2}{z}^{\prime }-\frac{1}{x{y}^2}=-1}$

さらに両辺に${\displaystyle 2}$ をかけると

${\displaystyle z^{\prime }-\frac{2}{x{y}^2}=-2}$  ･･････(3)

${\displaystyle z=y^{-2}=\frac{1}{y^2}}$ なので(3)式に代入すると

${\displaystyle z^{\prime }-\frac{2}{x}z=-2}$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$　（${\displaystyle C}$は任意定数）

このことを利用すると

${\displaystyle z=e^{{\displaystyle \int \frac{2}{x}dx}}\left({\displaystyle \int -2e^{-{\displaystyle \int \frac{2}{x}dx}}dx}+C\right)}$

積分すると

${\displaystyle z}$${\displaystyle =e^{2\log \left|x\right|}\left(-2{\displaystyle \int e^{-2\log \left|x\right|}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^{\log x^2}\left(-2{\displaystyle \int e^{\log x^{-2}}dx}+C\right)}$

${\displaystyle e^{\log F\left(x\right)}=F\left(x\right)}$ となるので

${\displaystyle z}$${\displaystyle =x^2\left(-2{\displaystyle \int x^{-2}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =x^2\left(2x^{-1}+C\right)}$

${\displaystyle =2x+C{x}^2}$

${\displaystyle z=\frac{1}{y^2}}$を代入すると

${\displaystyle \frac{1}{y^2}=2x+C{x}^2}$

したがって

${\displaystyle \left(2x+C{x}^2\right)y^2=1}$

${\displaystyle y^2=\frac{1}{2x+C{x}^2}}$

${\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{2x+C{x}^2}}}$

　

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最終更新日： 2023年6月13日