ベルヌーイの微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}-\frac{y}{2x}=\left(2x^2+1\right)y^3}$

■答

${\displaystyle y=\pm \sqrt{\frac{x}{C-x^4-x^2}}}$　（${\displaystyle C}$は任意定数）

■ヒント

ベルヌーイ微分方程式の解法

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$ 　　　(${\displaystyle n\ne 0,1}$)

${\displaystyle z=y^{1-n}}$とおいて，これを ${\displaystyle x}$と ${\displaystyle z}$の微分方程式に書き換えれば，線形微分方程式になる．

(⇒詳しくはこちら)

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}-\frac{y}{2x}=\left(2x^2+1\right)y^3}$ ･･････(1)

${\displaystyle z=y^{-2}}$  ･･････(2)

とおき，(2)式を${\displaystyle x}$で微分すると

${\displaystyle z^{\prime }=-2y^{-3}{y}^{\prime }}$

${\displaystyle z^{\prime }=-\frac{2}{y^3}{y}^{\prime }}$

この式の両辺に${\displaystyle -\frac{1}{2}{y}^3}$をかけると

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{1}{2}{y}^3{z}^{\prime }}$

これを(1)式に代入すると

${\displaystyle -\frac{1}{2}{y}^3{z}^{\prime }-\frac{y}{2x}=\left(2x^2+1\right)y^3}$

この式の両辺を${\displaystyle -y^3}$で割ると

${\displaystyle \frac{1}{2}{z}^{\prime }+\frac{1}{2x{y}^2}=-2x^2-1}$

さらに両辺に${\displaystyle 2}$をかけると

${\displaystyle z^{\prime }+\frac{1}{x{y}^2}=-4x^2-2}$  ･･････(3)

${\displaystyle z=y^{-2}=\frac{1}{y^2}}$なので(3)式に代入すると

${\displaystyle z^{\prime }+\frac{1}{x}z=-4x^2-2}$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$　（${\displaystyle C}$は任意定数）

このことを利用すると

積分すると

${\displaystyle z}$${\displaystyle =e^{-\log \left|x\right|}\left({\displaystyle \int \left(-4x^2-2\right)e^{\log \left|x\right|}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{x}\left({\displaystyle \int \left(-4x^2-2\right)xdx}+C\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{x}\left({\displaystyle \int \left(-4x^3-2x\right)dx}+C\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{x}\left(-x^4-x^2+C\right)}$

${\displaystyle z=\frac{1}{y^2}}$を代入すると

${\displaystyle \frac{1}{y^2}=\frac{1}{x}\left(C-x^4-x^2\right)}$

したがって

${\displaystyle x=y^2\left(C-x^4-x^2\right)}$

${\displaystyle y^2=\frac{x}{C-x^4-x^2}}$

${\displaystyle y=\pm \sqrt{\frac{x}{C-x^4-x^2}}}$

　

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最終更新日： 2023年6月13日