微分方程式の問題

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式一般解を求めなさい.

dy dx = y x

■答

y=Ax  (ただし A は任意定数)

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

dy dx = y x

変数分離形方程式の解法 その3 のように形式的な変形をする

両辺に dx をかけて

dy= y x dx  ・・・・・・(1)

(i) y0 のとき

(1)を y で割って

1 y dy= 1 x dx

両辺を積分すると

1 y dy = 1 x dx +C

log| y |=log| x |+C

(ただし C は任意定数)

積分の基本公式はこちら

log| y |=log| x |+C ・・・・・・(1)

対数の性質より(1)の左辺は

log| y |log| x |

=log | y | | x |

=log| y x |

log e = 1 より,(1)式の右辺は

C = C log e

さらに対数の性質より

C log e = log e C

よって

log| y x |=log e C

以上より

| y x |= e C

y x =± e C

± e C =A0 とおいて,整理すると

y x =A

y=Ax

したがって

y=Ax  ・・・・・・(2)

(ii) y=0 のとき

(2)において, A=0 に相当する.

 

(i),(ii)より

y=Ax  (ただし A は任意定数)

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>変数分離形微分方程式に関する問題>> dy dx = y x

最終更新日: 2023年6月29日