変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=3y}$

■答

${\displaystyle y=A{e}^{3x}}$ 　　　（ただし ${\displaystyle A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=3y}$

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle dy=3ydx}$

・${\displaystyle y\ne 0}$ のとき

両辺を${\displaystyle y}$ で割る

${\displaystyle \frac{1}{y}dy=3dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{y}dy}={\displaystyle \int 3dx}+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle \log \left|y\right|=3x+C}$       (ただし ${\displaystyle C}$は任意定数)

ここで，${\displaystyle log\left|y\right|}$ の底は ${\displaystyle e}$ であるので，指数と対数の関係

${log}_{a}P=r\iff a^r=P$

を用いると,

${\displaystyle \left|y\right|=e^{3x+C}}$

指数法則より

${\displaystyle e^{3x+C}=e^C{e}^{3x}}$

となるので

${\displaystyle \left|y\right|=e^C{e}^{3x}}$

${\displaystyle y=\pm e^C{e}^{3x}}$

${\displaystyle \pm e^C=A}$  とおくと

${\displaystyle y=A{e}^{3x}}$　　　･････(1) 　　　

・${\displaystyle y=0}$のとき

${\displaystyle y=0}$

は微分方程式を満たし,（1）の${\displaystyle A=0}$ に相当する．

以上より微分方程式の解は

${\displaystyle y=A{e}^{3x}}$（ただし ${\displaystyle A}$ は任意定数）

となる．

　

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最終更新日： 2022年5月11日