微分方程式の問題

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式一般解を求めなさい.

dy dx =2y+3

■答

y = A e 2 x - 3 2    (ただし A は任意定数)

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

dy dx =2y+3

変数分離形方程式の解法 その3 のように形式的な変形をする

両辺に dx をかけて

d y = ( 2 y + 3 ) d x  ・・・・・・(1)

(i) 2y+30 のとき

(1)を 2y+3 で割って

1 2y+3 dy=dx

両辺を積分すると

1 2y+3 dy = dx+C

積分の基本公式はこちら

1 2 log | 2 y + 3 | = x + C

(ただし C は任意定数)

両辺に2をかける

log | 2 y + 3 | = 2 x + 2 C

log e = 1 なので,右辺を書き換えると

2 x + 2 C = ( 2 x + 2 C ) log e

対数の性質より

( 2 x + 2 C ) log e = log e 2 x + 2 C

よって

log | 2 y + 3 | = log e 2 x + 2 C

したがって

| 2 y + 3 | = e 2 x + 2 C

指数法則より

| 2 y + 3 | = e 2 C e 2 x

2 y + 3 = ± e 2 C e 2 x

2 y = ± e 2 C e 2 x - 3

y = ± 1 2 e 2 C e 2 x - 3 2

± 1 2 e 2C =A0  とおくと

y = A e 2 x - 3 2

 

(i),(ii)より

y = A e 2 x - 3 2    (ただし A は任意定数)

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最終更新日: 2023年1月25日