同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2}}$

■答

${\displaystyle y=\frac{x}{1-Ax}}$　(${\displaystyle A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2}={\left(\frac{y}{x}\right)}^2}$　･･････(1)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$　･･････(2)

これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$　　･･････(3)

(2)，(3)を(1)に代入すると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=v^2}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=v^2-v}$

${\displaystyle \frac{1}{v^2-v}dv=\frac{1}{x}dx}$

左辺を部分分数に展開すると

${\displaystyle \left(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v}\right)dv=\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v}\right)dv}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \log \left|v-1\right|-\log \left|v\right|=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle \log \left|v-1\right|-\log \left|v\right|-\log \left|x\right|=C}$

対数の性質を利用してこの式を整理すると

${\displaystyle \log \left|\frac{v-1}{vx}\right|=C}$

左辺は

${\displaystyle C=C\log e=\log e^C}$　　${\displaystyle \left(\because \log e=1\right)}$

に変形できるので

${\displaystyle \log \left|\frac{v-1}{vx}\right|=\log e^C}$

${\displaystyle \left|\frac{v-1}{vx}\right|=e^C}$

${\displaystyle \frac{v-1}{vx}=\pm e^C}$

${\displaystyle v}$ を元(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$ )に戻すと

${\displaystyle \frac{\frac{y}{x}-1}{\frac{y}{x}x}=\pm e^C}$

${\displaystyle \frac{y-x}{xy}=\pm e^C}$

${\displaystyle \pm e^C=A\ne 0}$ とおいて，整理すると

${\displaystyle y-x=Axy}$

${\displaystyle y-Axy=x}$

${\displaystyle \left(1-Ax\right)y=x}$

${\displaystyle y=\frac{x}{1-Ax}}$　･･････(4)

${\displaystyle A=0}$ のとき，(4)は

${\displaystyle y=x}$　･･････(5)

となる．(5)より

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=1}$　･･････(6)

${\displaystyle \frac{y^2}{x^2}=\frac{x^2}{x^2}=1}$　･･････(7)

(6)，(7)より(5)は与式の微分方程式を満たすので，その解となる．

よって，(4)は${\displaystyle A=0}$ も含めて微分方程式の解となる．

以上より，微分方程式の解は

${\displaystyle y=\frac{x}{1-Ax}}$　(${\displaystyle A}$ は任意定数)

となる．

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最終更新日： 2023年6月19日