同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle x{y}^{\prime }=\frac{x}{y}\sqrt{x^2+y^2}+y}$

■答

${\displaystyle y=\pm x\sqrt{{\left(\log \left|x\right|+C\right)}^2-1}}$　　(ただし${\displaystyle C}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle x{y}^{\prime }=\frac{x}{y}\sqrt{x^2+y^2}+y}$

・${\displaystyle x\ne 0}$ の場合

両辺を${\displaystyle x}$  で割ると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}+\frac{y}{x}}$  

＊${\displaystyle x>0}$の時

${\displaystyle x=\sqrt{x^2}}$ より

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{x}{y}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2}}+\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}{x^2}}+\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{x}{y}\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}+\frac{y}{x}}$　･･････(1)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$ とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$

これを${\displaystyle x}$で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$

以上を(1)に代入すると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}\sqrt{1+v^2}+v}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}\sqrt{1+v^2}}$

この式を整理すると

${\displaystyle \frac{v}{\sqrt{1+v^2}}dv=\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

⇒左辺の積分方法はこちら

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{v}{\sqrt{1+v^2}}dv}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \sqrt{1+v^2}=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle v}$ を元に戻すと(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$)

${\displaystyle \sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle \sqrt{\frac{x^2+y^2}{x^2}}=\log \left|x\right|+C}$

両辺に${\displaystyle x}$をかけると

${\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=x\left(\log \left|x\right|+C\right)}$　　･････(2)

＊${\displaystyle x<0}$ の時

${\displaystyle x=-\sqrt{x^2}}$ となり，同様に計算すると

${\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=x\left(\log \left|x\right|-C\right)}$　　･････(3)

${\displaystyle C}$ は任意定数なので，(2)と(3)は数学的に同等である．

(2)を${\displaystyle y}$ について解くと

${\displaystyle x^2+y^2=x^2{\left(\log \left|x\right|+C\right)}^2}$

${\displaystyle y^2=x^2{\left(\log \left|x\right|+C\right)}^2-x^2}$

${\displaystyle y^2=x^2\left\{{\left(\log \left|x\right|+C\right)}^2-1\right\}}$

${\displaystyle y=\pm x\sqrt{{\left(\log \left|x\right|+C\right)}^2-1}}$

・${\displaystyle x=0}$ の場合

${\displaystyle x=0}$ を微分方程式に代入すると，${\displaystyle y=0}$となるが，微分方程式の分数部分の分母が${\displaystyle 0}$ になってしますので${\displaystyle y=0}$は除外される.

　

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最終更新日： 2023年6月19日