線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{\prime }=\sin x-y}$

■答

${\displaystyle y=\frac{1}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C{e}^{-x}}$

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

一般解

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

■解き方

${\displaystyle y^{\prime }=\sin x-y}$　･･････(1)

(1)式を変形すると

${\displaystyle y^{\prime }+y=\sin x}$　･･････(2)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

このことを利用すると，(2)の一般解は次のような式で求まる．

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int dx}}\left({\displaystyle \int \sin x{e}^{{\displaystyle \int dx}}dx}+C\right)}$

積分すると

⇒積分のやり方はこちら

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =e^{-x}\left({\displaystyle \int e^x\sin xdx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^{-x}\left\{\frac{1}{2}{e}^x\left(\sin x-\cos x\right)+C\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C{e}^{-x}}$

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最終更新日： 2023年6月20日