線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle x{y}^{\prime }+\frac{y}{\log x}=4x^2}$

■答

${\displaystyle y=2x^2-\frac{x^2}{\log x}+\frac{C}{\log x}}$

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

一般解

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

■解き方

${\displaystyle x{y}^{\prime }+\frac{y}{\log x}=4x^2}$　･････(1)

${\displaystyle \log x}$ と${\displaystyle x}$ は自然対数の真数になっているので，${\displaystyle x>0}$ となる．

(1)式の両辺を${\displaystyle x}$で割ると

${\displaystyle y^{\prime }+\frac{1}{x\log x}=4x}$　･････(2)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

このことを利用すると，(2)の一般解は次のような式で求まる．

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int \frac{1}{x\log x}dx}}\left({\displaystyle \int 4x{e}^{{\displaystyle \int \frac{1}{x\log x}dx}}dx}+C\right)}$

⇒ ${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x\log x}dx}}$ の積分方法はこちら

${\displaystyle y=e^{-\log \left|\log x\right|}\left({\displaystyle \int 4x{e}^{\log \left|\log x\right|}dx}+C\right)}$

・${\displaystyle \log x\geqq 0}$ ，すなわち，${\displaystyle x\geqq 1}$ のとき

${\displaystyle y=e^{-\log \left(\log x\right)}\left(\int 4x{e}^{\log \left(\log x\right)}dx+C\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log x}\left(\int 4x\log xdx+C\right)}$

⇒ ${\displaystyle {\displaystyle \int \left(4x\log x\right)dx}}$ の積分法方はこちら

${\displaystyle =\frac{1}{\log x}\left(2x^2\log x-x^2+C\right)}$

${\displaystyle =2x^2-\frac{x^2}{\log x}+\frac{C}{\log x}}$　　　･････(3)

・${\displaystyle \log x<0}$ のとき，すなわち，${\displaystyle x<1}$ のとき

${\displaystyle =\frac{1}{-\log x}\left(\int 4x\left(-\log x\right)dx+C\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log x}\left(2x^2\log x-x^2-C\right)}$

${\displaystyle =2x^2-\frac{x^2}{\log x}-\frac{C}{\log x}}$　　　･････(4)

${\displaystyle C}$ は任意定数なので，(3)と(4)は数学的に同等である．

　

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最終更新日： 2023年6月20日