微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(D^2-5D+6\right)y=18x}$

■答

${\displaystyle y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{2x}+3x+\frac{5}{2}}$

(ただし，${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$は任意定数)

■ヒント

逆演算子を部分分数に分解して解く．この公式を参照．

■解き方

●特殊解

${\displaystyle \frac{1}{D^2-5D+6}18x}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\left(D-3\right)\left(D-2\right)}18x}$

部分分数に分解する

${\displaystyle =\left(\frac{1}{D-3}-\frac{1}{D-2}\right)18x}$

この公式を利用するする

${\displaystyle =e^{3x}{\displaystyle \int e^{-3x}\cdot 18xdx}}$${\displaystyle -e^{2x}{\displaystyle \int e^{-2x}\cdot 18xdx}}$

${\displaystyle =e^{3x}\cdot 18\left\{-\frac{1}{3}{e}^{-3x}\left(x+\frac{1}{3}\right)\right\}}$${\displaystyle -e^{2x}\cdot 18\left\{-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\left(x+\frac{1}{2}\right)\right\}}$

${\displaystyle =3x+\frac{5}{2}}$

●同次方程式${\displaystyle (D^2-5D+6)y=0}$ の一般解

特性方程式は

${\displaystyle t^2-5t+6=0}$

より

${\displaystyle \left(t-3\right)\left(t-2\right)=0}$

${\displaystyle t=3,2}$

よって，同次方程式の一般解は

${\displaystyle c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{2x}}$ 　　(定数係数線形同時微分方程式を参照)

${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$は任意定数

●一般解

以上より，一般解は

${\displaystyle y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{2x}+3x+\frac{5}{2}}$

となる.

　

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最終更新日： 2023年6月28日