微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

$\frac{1}{D^{2} - D - 2} (x^{2} - 2 x - 3)$

$- \frac{1}{2} (x^{2} - 3 x - \frac{1}{2})$

$\frac{1}{D^{2} - D - 2} (x^{2} - 2 x - 3)$

$= - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{D - D^{2}}{2}} (x^{2} - 2 x - 3)$

$= - \frac{1}{2} {1 - \frac{D - D^{2}}{2} + {(\frac{D - D^{2}}{2})}^{2} + \cdot \cdot \cdot} (x^{2} - 2 x - 3)$

$= - \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2} D + \frac{3}{4} D^{2} - \cdot \cdot \cdot) (x^{2} - 2 x - 3)$

ここで

$- \frac{1}{2} D (x^{2} - 2 x - 3) = - \frac{1}{2} (2 x - 2) = - x + 1$

$\frac{3}{4} D^{2} (x^{2} - 2 x - 3) = \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{2}$

よって

$= - \frac{1}{2} (x^{2} - 2 x - 3 - x + 1 + \frac{3}{2})$

$= - \frac{1}{2} (x^{2} - 3 x - \frac{1}{2})$

最終更新日： 2023年6月29日