微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{\sqrt{x}}$

■答

$y^{'} = \frac{3 x^{2} + 2 x - 3}{2 x \sqrt{x}}$

（あるいは， $\frac{3}{2} \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{2 x \sqrt{x}}$ でもよい．）

■ヒント

分数関数の微分Ⅱ

${\frac{h (x)}{g (x)}}^{'} = \frac{h^{'} (x) g (x) - h (x) g^{'} (x)}{g {(x)}^{2}}$

の公式を用いる．

■解説

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{\sqrt{x}}$

$y^{'} = \frac{{(x^{2} + 2 x + 3)}^{'} \sqrt{x} - (x^{2} + 2 x + 3) {(\sqrt{x})}^{'}}{{(\sqrt{x})}^{2}}$

(分数関数の微分Ⅱを参照)

$= \frac{(2 x + 2) \sqrt{x} - (x^{2} + 2 x + 3) \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{x}$ $= \frac{\frac{2 (2 x + 2) x}{2 \sqrt{x}} - \frac{(x^{2} + 2 x + 3)}{2 \sqrt{x}}}{x}$ $= \frac{3 x^{2} + 2 x - 3}{2 x \sqrt{x}}$

●別解

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{\sqrt{x}}$ $= x^{\frac{3}{2}} + {2 x}^{\frac{1}{2}} + {3 x}^{- \frac{1}{2}}$

と変形する．

$y^{'} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ $= \frac{3}{2} \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{2 x \sqrt{x}}$ $= \frac{3 x^{2} + 2 x - 3}{2 x \sqrt{x}}$

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最終更新日： 2023年10月7日