微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 1}{x - 1}}$

■答

$y^{'} = - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{2}} \sqrt[3]{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}}$

■ヒント

合成関数を微分する手順で示した

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ の公式を用いる．

■解説

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 1}{x - 1}}$

を

$y = {}^{3}{\sqrt{u}}$ ， $u = \frac{x + 1}{x - 1}$

とおく．

$y = u^{\frac{1}{3}}$

$\frac{d y}{d u} = \frac{1}{3} u^{- \frac{2}{3}}$

(合成関数の導関数を参照)

$\frac{d u}{d x} = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{'}$ $= \frac{{(x + 1)}^{'} (x - 1) - (x + 1) {(x - 1)}^{'}}{{(x - 1)}^{2}}$ $= \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

$\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $= \frac{1}{3} u^{- \frac{2}{3}} \cdot \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

( $u = \frac{x + 1}{x - 1}$ と置き換えていたのを元に戻す）

$= \frac{1}{3} \sqrt[3]{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$ $= - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{2}} \sqrt[3]{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}}$

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最終更新日： 2021年3月22日