微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = {cos}^{4} (3 x - 2)$

■解説動画

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■答

$y^{'} = \begin{array}{l} - 12 {cos}^{3} (3 x - 2) sin (3 x - 2) \end{array}$

■ヒント

合成関数の導関数

${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

の式を用いる．

■解説

$y = \cos^{4} (3 x - 2)$

$y^{'} = 4 \cos^{3} (3 x - 2) {(\cos 3 x - 2)}^{'}$

$= 4 \cos^{3} (3 x - 2) {- \sin (3 x - 2)} {(3 x - 2)}^{'}$

$= 4 \cos^{3} (3 x - 2) {- \sin (3 x - 2)} \cdot 3$

$= - 12 c o s^{3} (3 x - 2) \sin (3 x - 2)$

●別解

$y = \cos^{4} (3 x - 2)$

を

$y = u^{4}$ ， $u = \cos (3 x - 2)$

とおく．

$\frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$

$\frac{d u}{d x}$ の計算は再び合成関数の微分をする．

$u = \cos (3 x - 2)$

を

$u = \cos s$

$s = 3 x - 2$

とおく．

$\frac{d u}{d s} = - \sin s$

$\frac{d s}{d x} = 3$

よって

$\frac{d u}{d x} = \frac{d u}{d s} \cdot \frac{d s}{d x}$ $= (- \sin s) \cdot 3$ $= - 3 \sin (3 x - 2)$

したがって

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$= 4 u^{3} {- 3 \sin (3 x - 2)}$

$= - 12 {\cos (3 x - 2)}^{3} \sin (3 x - 2)$

$= - 12 \cos^{3} (3 x - 2) \sin (3 x - 2)$

■備考

上の計算より

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$\frac{d u}{d x} = \frac{d u}{d S} \cdot \frac{d S}{d x}$

である．よって

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d S} \cdot \frac{d S}{d x}$

となる．この式を用いると

$y = \cos^{4} (3 x - 2)$

を

$y = u^{4}$

$u = \cos s$

$s = 3 x - 2$

とおく．

$\frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$

$\frac{d u}{d s} = - \sin s$

$\frac{d s}{d x} = 3$

よって

$\frac{d y}{d u} = (4 u^{3}) (- \sin s) \cdot 3$

$= 4 {\cos (3 x - 2)}^{3} {- \sin (3 x - 2)} \cdot 3$

$= - 12 \cos^{3} (3 x - 2) \sin (3 x - 2)$

となる．

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最終更新日： 2025年4月22日