微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$y = e^{- x}$

$y^{'} = - e^{- x}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

の公式を用いる．

$y = e^{- x}$ を $y = e^{u}$ , $u = - x$ とおく．

$\frac{d y}{d u} = e^{u}$ ， $\frac{d u}{d x} = - 1$

よって

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $= e^{u} \cdot (- 1)$ $= - e^{- x}$

合成関数の微分

${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$

の公式を用いた場合

$y = e^{- x}$ ， $f (u) = e^{u}$ ， $u = g (x) = - x$

と考える．

$f^{'} (u) = e^{u}$ 　→　 $f^{'} (g (x)) = e^{- x}$ ， $g^{'} (x) = - 1$

となる．よって

$y^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ $= e^{- x} \cdot (- 1)$ $= - e^{- x}$

最終更新日： 2021年3月22日