問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={\left(x^3\right)}^{-4}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=-12x^{-13}}$あるいは，${\displaystyle -\frac{12}{x^{13}}}$

■ヒント

基本となる関数の導関数より

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^a\right)}^{\prime }=a{x}^{a-1}}$

　　　　(a は実数)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle y={\left(x^3\right)}^{-4}}$

(計算しやすいよう， 指数法則 ${\displaystyle {\left(a^r\right)}^s=a^{rs}}$ を用いて式を変形する)

${\displaystyle =x^{-12}}$ 

${\displaystyle y^{\prime }=-12x^{-12-1}=-12x^{-13}}$${\displaystyle =-\frac{12}{x^{13}}}$ 

●別解

合成関数${\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)}$ の微分${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)}$ を用いる．

${\displaystyle y=g\left(u\right)=u^{-4}}$，${\displaystyle u=h\left(x\right)=x^3}$  

とおくと

${\displaystyle f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)}$

となる．

${\displaystyle g^{\prime }\left(u\right)=-4u^{-5}}$，${\displaystyle h^{\prime }\left(x\right)=3x^2}$  

となるので 

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=g^{\prime }\left(h\left(x\right)\right)h^{\prime }\left(x\right)}$  

${\displaystyle =-4{\left(x^3\right)}^{-5}\left(3x^2\right)}$  

${\displaystyle =-12x^{-15+2}}$  

${\displaystyle =-12x^{-13}}$  

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最終更新日： 2021年3月22日

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