微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1 - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$ $f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1 - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

■答

$f^{'} (x) = 6 x + 2 + \frac{3 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

■ヒント

分数関数の微分Ⅱ

${\frac{h (x)}{g (x)}}^{'} = \frac{h^{'} (x) g (x) - h (x) g^{'} (x)}{g {(x)}^{2}}$

の公式を用いる．

■解説

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1 - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

$f^{'} (x) = 6 x + 2$ $- \{\frac{{(3 x)}^{'} (x^{2} + 1) - 3 x {(x^{2} + 1)}^{'}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}\}$

(分数関数の微分Ⅱを参照)

$= 6 x + 2 - {\frac{3 (x^{2} + 1) - 3 x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}$ $= 6 x + 2 - \{\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}\}$ $= 6 x + 2 + \frac{3 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

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最終更新日： 2023年10月7日