微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = \frac{t^{5} + 1}{t^{5}}$ $y = \frac{t^{5} + 1}{t^{5}}$

■答

$y^{'} = - \frac{5}{t^{6}}$ $y^{'} = - \frac{5}{t^{6}}$

■ヒント

微分の公式を利用して解く．

■解説

$y = \frac{t^{5} + 1}{t^{5}}$ $y = \frac{t^{5} + 1}{t^{5}}$

$= 1 + \frac{1}{t^{5}}$ $= 1 + \frac{1}{t^{5}}$

微分の公式を利用できるようにあらかじめ式を変形する．

$y^{'} = {(1)}^{'} + {(\frac{1}{t^{5}})}^{'}$ $y^{'} = {(1)}^{'} + {(\frac{1}{t^{5}})}^{'}$

$= 0 + {(t^{- 5})}^{'}$ $= 0 + {(t^{- 5})}^{'}$

$= - 5 t^{- 6}$ $= - 5 t^{- 6}$

$= - \frac{5}{t^{6}}$ $= - \frac{5}{t^{6}}$

●別解

$y = \frac{t^{5} + 1}{t^{5}}$ $y = \frac{t^{5} + 1}{t^{5}}$

$y^{'} = \frac{{(t^{5} + 1)}^{'} \cdot t^{5} - (t^{5} + 1) \cdot {(t^{5})}^{'}}{{(t^{5})}^{2}}$ $y^{'} = \frac{{(t^{5} + 1)}^{'} \cdot t^{5} - (t^{5} + 1) \cdot {(t^{5})}^{'}}{{(t^{5})}^{2}}$

分数の導関数の公式を用いる．

$= \frac{{{(t^{5})}^{'} + {(1)}^{'}} \cdot t^{5} - (t^{5} + 1) \cdot (5 t^{4})}{t^{10}}$ $= \frac{{{(t^{5})}^{'} + {(1)}^{'}} \cdot t^{5} - (t^{5} + 1) \cdot (5 t^{4})}{t^{10}}$

$= \frac{{(5 t^{4}) + (0)} \cdot t^{5} - 5 t^{4} (t^{5} + 1)}{t^{10}}$ $= \frac{{(5 t^{4}) + (0)} \cdot t^{5} - 5 t^{4} (t^{5} + 1)}{t^{10}}$

$= \frac{5 t^{4} \cdot t^{5} - 5 t^{4} (t^{5} + 1)}{t^{10}}$ $= \frac{5 t^{4} \cdot t^{5} - 5 t^{4} (t^{5} + 1)}{t^{10}}$

$= \frac{5 t^{9} - 5 t^{9} - 5 t^{4}}{t^{10}}$ $= \frac{5 t^{9} - 5 t^{9} - 5 t^{4}}{t^{10}}$

$= - \frac{5}{t^{6}}$ $= - \frac{5}{t^{6}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年3月8日

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