微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = x^{5 x}$

$y^{'} = 5 x^{5 x} (log x + 1)$

$y = x^{5 x}$

指数関数の定義より

$x > 0$

よって

$x^{5 x} > 0$

両辺の自然対数を取とり，対数微分法を用いて $y^{'}$ を求めることにする．

$\begin{matrix} \log y & = \log x^{5 x} \\ = 5 x \log x \end{matrix}$

両辺を $x$ で微分する．

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = {(5 x)}^{'} \cdot \log x + 5 x \cdot {(\log x)}^{'}$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 log x + 5 x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (log x + 5)$

よって

$\frac{d y}{d x} = 5 (\log x + 1) \cdot y$

$y = x^{5 x}$ より

$\frac{d y}{d x} = 5 (\log x + 1) \cdot x^{5 x}$ $= 5 x^{5 x} (\log x + 1)$

指数関数 $y = x^{5 x}$ の底を自然対数の底 $e$ に変換する．

$y = x^{5 x} = e^{\log x^{5 x}} = e^{5 x \log x}$

$y^{'} = e^{5 x \log x} \cdot {(5 x \log x)}^{'}$

$= e^{5 x \log x} \cdot \{{(5 x)}^{'} \log x + 5 x \cdot {(\log x)}^{'}\}$

$= e^{5 x \log x} \cdot (5 \log x + 5 x \cdot \frac{1}{x})$

$= e^{5 x \log x} \cdot 5 (\log x + 1)$

$e^{5 x \log x} = x^{5 x}$ より

$y^{'} = x^{5 x} \cdot 5 (\log x + 1)$ $= 5 x^{5 x} (\log x + 1)$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年6月4日