微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = \sqrt[5]{5 x - 7}$

$y^{'} = \frac{1}{\sqrt[5]{{(5 x - 7)}^{4}}}$

$y = \sqrt[5]{5 x - 7}$

両辺を５乗する．

$y^{5} = 5 x - 7$

これを $x$ について解く．

$5 x = y^{5} + 7$

$x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{7}{5}$

これを更に $y$ に関して微分する．

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{5} \cdot (5 y^{4})$ $= y^{4}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$ $= \frac{1}{y^{4}}$ $= \frac{1}{\sqrt[5]{{(5 x - 7)}^{4}}}$

$y = \sqrt[5]{5 x - 7}$

微分の公式を適応しやすいように式を変形する．

$= {(5 x - 7)}^{\frac{1}{5}}$ 　　　　　

$y^{'} = \frac{1}{5} {(5 x - 7)}^{- \frac{4}{5}} \cdot {(5 x - 7)}^{'}$

$= \frac{1}{5} {(5 x - 7)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5$

$= {(5 x - 7)}^{- \frac{4}{5}}$

$= \frac{1}{\sqrt[5]{{(5 x - 7)}^{4}}}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2021年3月22日