微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = x^{\frac{1}{3 n}}$ （ $n$ は自然数とする．）

■答

$y^{'} = \frac{1}{3 n} x^{\frac{1}{3 n} - 1}$

■ヒント

公式： ${(x^{α})}^{'} = α x^{α - 1}$

逆関数の導関数を用いて計算することもできる．

■解説

$y = x^{\frac{1}{3 n}}$

$y^{'} = \frac{1}{3 n} \cdot x^{\frac{1}{3 n} - 1}$ $= \frac{1}{3 n} \cdot x^{- (1 - \frac{1}{3 n})}$ $= \frac{1}{3 n} x^{\frac{1}{3 n} - 1}$

●別解

$y = x^{\frac{1}{3 n}}$

両辺を３n乗する．

$y^{3 n} = x$

$x = y^{3 n}$

両辺を $y$ で微分する．

$\frac{d x}{d y} = 3 n \cdot y^{3 n - 1}$

逆関数の導関数より

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$ $= \frac{1}{3 n \cdot y^{3 n - 1}}$ $= \frac{1}{3 n \cdot {(x^{\frac{1}{3 n}})}^{3 n - 1}}$ $= \frac{1}{3 n \cdot x^{\frac{3 n - 1}{3 n}}}$ $= \frac{1}{3 n \cdot x^{1 - \frac{1}{3 n}}}$ $= \frac{1}{3 n} x^{\frac{1}{3 n} - 1}$

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最終更新日： 2025年3月8日