微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$y = \frac{e^{6} cos 6 x}{log 3 x}$

$y^{'} = - \frac{e^{6} (6 x sin 6 x log 3 x + cos 6 x)}{x {(log 3 x)}^{2}}$

$e^{6}$ は関数ではなく，数値と扱いが同じであることに注意する．

$y = \frac{e^{6} cos 6 x}{log 3 x}$

$y^{'} = \frac{{(e^{6} cos 6 x)}^{'} \cdot log 3 x - e^{6} cos 6 x \cdot {(log 3 x)}^{'}}{{(log 3 x)}^{2}}$

$= \frac{- 6 e^{6} sin 6 x \cdot log 3 x - e^{6} cos 6 x \cdot \frac{1}{x}}{{(log 3 x)}^{2}}$

分母，分子を $x$ 倍して

$= - \frac{x (- 6 e^{6} sin 6 x log 3 x + cos 6 x \cdot \frac{1}{x})}{x {(log 3 x)}^{2}}$

$= - \frac{e^{6} (6 x sin 6 x log 3 x + cos 6 x)}{x {(log 3 x)}^{2}}$

$y = \frac{e^{6} cos 6 x}{log 3 x}$

$= e^{6} cos 6 x \cdot {(log 3 x)}^{- 1}$

関数 $e^{6} cos 6 x$ と関数 ${(log 3 x)}^{- 1}$ の積と考えて微分する．

$y^{'} = {(e^{6} \cos 6 x)}^{'} \cdot {(\log 3 x)}^{- 1}$ $+ e^{6} \cos 6 x \cdot {{(\log 3 x)}^{- 1}}^{'}$

$= - 6 e^{6} \sin 6 x \cdot {(\log 3 x)}^{- 1}$ $+ e^{6} \cos 6 x \cdot {- \frac{1}{x {(\log 3 x)}^{2}}}$

$= - \frac{6 e^{6} sin 6 x}{log 3 x} - \frac{e^{6} cos 6 x}{x {(log 3 x)}^{2}}$

$= - \frac{6 e^{6} sin 6 x \cdot x log 3 x + e^{6} cos 6 x}{x {(log 3 x)}^{2}}$

$= - \frac{e^{6} (6 x sin 6 x log 3 x + cos 6 x)}{x {(log 3 x)}^{2}}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日