微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$y = log | \frac{1 - 2 x}{1 + 2 x} |$

$y^{'} = - \frac{4}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

（あるいは　 $y^{'} = - 2 (\frac{1}{1 - 2 x} + \frac{1}{1 + 2 x})$ ）

$y = log | \frac{1 - 2 x}{1 + 2 x} |$ を

$y = \log u$ ， $u = \frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$

と置き，合成関数の導関数の公式を用いる．

$\frac{d y}{d u} = \frac{1}{u}$

$\frac{d u}{d x}$ $= \frac{{(1 - 2 x)}^{'} (1 + 2 x) - (1 - 2 x) {(1 + 2 x)}^{'}}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

$= \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

$= - \frac{4}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

よって

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$= \frac{1}{u} (- \frac{4}{{(1 + 2 x)}^{2}})$

$= \frac{1}{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}} \cdot (- \frac{4}{{(1 + 2 x)}^{2}})$

$= - \frac{4 (1 + 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2} (1 - 2 x)}$

$= - \frac{4}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

対数の性質を使って式を変形してから微分する．

$y = \log | \frac{1 - 2 x}{1 + 2 x} |$

$= \log \frac{| 1 - 2 x |}{| 1 + 2 x |}$

$= \log | 1 - 2 x | - \log | 1 + 2 x |$

対数のこの性質を用いる．

$y^{'} = \frac{1}{1 - 2 x} {(1 - 2 x)}^{'}$ $- \frac{1}{1 + 2 x} {(1 + 2 x)}^{'}$

$= \frac{1}{1 - 2 x} \cdot (- 2) - \frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2$

$= - 2 (\frac{1}{1 - 2 x} + \frac{1}{1 + 2 x})$

$= - 2 \cdot \frac{(1 + 2 x) + (1 - 2 x)}{(1 - 2 x) (1 + 2 x)}$

$= - 2 \cdot \frac{2}{(1 - 2 x) (1 + 2 x)}$

$= - \frac{4}{(1 - 2 x) (1 + 2 x)}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日