微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$y = log \frac{e^{3 x} - 3}{e^{3 x} + 1}$

$y^{'} = \frac{12 e^{3 x}}{(e^{3 x} - 3) (e^{3 x} + 1)}$

$y = log \frac{e^{3 x} - 3}{e^{3 x} + 1}$ を

$y = \log u$

$u = \frac{e^{3 x} - 3}{e^{3 x} + 1}$

と置き，合成関数の導関数の公式を用いる．

$\frac{d y}{d u} = \frac{1}{u}$

$= \frac{{(e^{3 x} - 3)}^{'} \cdot (e^{3 x} + 1) - (e^{3 x} - 3) \cdot {(e^{3 x} + 1)}^{'}}{{(e^{3 x} + 1)}^{2}}$

$= \frac{3 e^{3 x} (e^{3 x} + 1) - 3 e^{3 x} (e^{3 x} - 3)}{{(e^{3 x} + 1)}^{2}}$

$= \frac{3 e^{3 x} {(e^{3 x} + 1) - (e^{3 x} - 3)}}{{(e^{3 x} + 1)}^{2}}$

$= \frac{12 e^{3 x}}{{(e^{3 x} + 1)}^{2}}$

よって

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$= \frac{1}{s} \cdot \frac{12 e^{3 x}}{{(e^{3 x} + 1)}^{2}}$

$= \frac{e^{3 x} + 1}{e^{3 x} - 3} \cdot \frac{12 e^{3 x}}{{(e^{3 x} + 1)}^{2}}$

$= \frac{12 e^{3 x}}{(e^{3 x} - 3) (e^{3 x} + 1)}$

真数が正であることより

$\frac{e^{3 x} - 3}{e^{3 x} + 1} > 0$

である． $e^{3 x} + 1 > 0$ より

$e^{3 x} - 3 > 0$

でなければならない．

よって

$y = \log \frac{e^{3 x} - 3}{e^{3 x} + 1}$

$= \log (e^{3 x} - 3) - \log (e^{3 x} + 1)$

と変形できる．これを $x$ で微分する．

$y^{'} = {\log (e^{3 x} - 3)}^{'} - {\log (e^{3 x} + 1)}^{'}$

$= \frac{1}{e^{3 x} - 3} {(e^{3 x} - 3)}^{'} - \frac{1}{e^{3 x} + 1} {(e^{3 x} + 1)}^{'}$

$= \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} - 3} - \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}$

$= \frac{3 e^{3 x} {(e^{3 x} + 1) - (e^{3 x} - 3)}}{(e^{3 x} - 3) (e^{3 x} + 1)}$

$= \frac{3 e^{3 x} \cdot 4}{(e^{3 x} - 3) (e^{3 x} + 1)}$

$= \frac{12 e^{3 x}}{(e^{3 x} - 3) (e^{3 x} + 1)}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日