微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

■答

$y^{'} = \frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

$y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

分数の導関数の微分の公式を用いる

$y^{'} = \frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} \{{(e^{x} - e^{- x})}^{'} (e^{x} + e^{- x})$ $- (e^{x} - e^{- x}) {(e^{x} + e^{- x})}^{'}\}$

$= \frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} [\{{(e^{x})}^{'} - {(e^{- x})}^{'}\} (e^{x} + e^{- x})$ $- (e^{x} - e^{- x}) \{{(e^{x})}^{'} + {(e^{- x})}^{'}\}]$

( ${(e^{x})}^{'}$ ⇒ここを見る， ${(e^{- x})}^{'}$ ⇒ここを見る)

$= \frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

$= \frac{(e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}) - (e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

$= \frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日