問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の条件式を満たす時，3次関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$を求めよ．

${\displaystyle f\left(0\right)=4}$ ，${\displaystyle f\left(1\right)=10}$ ，${\displaystyle f^{\prime }\left(2\right)=23}$ ，${\displaystyle f^{″}\left(3\right)=22}$

■答

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3+2x^2+3x+4}$

■ヒント

${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ とおく．

■解説

${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$

とおく．すると

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c}$

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)=6ax+2b}$

となる．

題意より

${\displaystyle f\left(0\right)=a·0^3+b·0^2+c·0+d=4}$

${\displaystyle f\left(1\right)=a·1^3+b·1^2+c·1+d=10}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(2\right)=3a·2^2+2b·2+c=23}$

${\displaystyle f^{″}\left(3\right)=6a·3+2b=22}$

の関係式が得られる．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}d=4\\ a+b+c+d=10\\ 12a+4b+c=23\\ 18a+2b=22\end{array}}$

の連立方程式が得られる．この連立方程式を解くと

${\displaystyle a=1}$ ，${\displaystyle b=2}$ ，${\displaystyle c=3}$ ，${\displaystyle d=4}$

となる．したがって，求める3次関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3+2x^2+3x+4}$

である．

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)