微分の計算問題

■問題

以下のように $f (x)$ ， $g (x)$ を置くとき， $f (0) = g (0)$ ， $f^{'} (0) = g^{'} (0)$ ， $f^{″} (0) = g^{″} (0)$ を満たす $a$ ， $b$ ， $c$ を求めよ．

$f (x) = 3 sin x + 2$ ， $g (x) = \frac{a}{b x^{2} + c x + 3}$

■答

$a = 6$ ， $b = \frac{27}{4}$ ， $c = - \frac{9}{2}$

■ヒント

$f (0) = g (0)$ ， $f^{'} (0) = g^{'} (0)$ ， $f^{″} (0) = g^{″} (0)$ の条件を式にする．

■解説

$f (0) = 3 sin 0 + 2 = 2$

$g (0) = \frac{a}{b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + 3} = \frac{a}{3}$

条件 $f (0) = g (0)$ より

$2 = \frac{a}{3}$

$a = 6$

よって

$g (x) = \frac{6}{b x^{2} + c x + 3}$

また

$f^{'} (x) = 3 cos x$

$g^{'} (x) = \frac{6^{'} (b x^{2} + c x + 3) - 6 {(b x^{2} + c x + 3)}^{'}}{{(b x^{2} + c x + 3)}^{2}}$ $= - \frac{6 (2 b x + c)}{{(b x^{2} + c x + 3)}^{2}}$ $= - \frac{12 b x + 6 c}{{(b x^{2} + c x + 3)}^{2}}$

（分数の導関数の微分の公式を用いる．）

よって

$f^{'} (0) = 3 cos 0$ $= 3$

$g^{'} (0) = - \frac{12 b \cdot 0 + 6 c}{{(b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + 3)}^{2}}$ $= - \frac{6 c}{3^{2}}$ $= - \frac{2}{3} c$

条件 $f^{'} (0) = g^{'} (0)$ より

$3 = - \frac{2}{3} c$

$c = - \frac{9}{2}$

よって

$g^{'} (x) = - \frac{12 b x - 27}{{(b x^{2} - \frac{9}{2} x + 3)}^{2}}$

また

$f^{″} (x) = - 3 sin x$

$g^{″} (x) = - \frac{{(12 b x - 27)}^{'} {(b x^{2} - \frac{9}{2} x + 3)}^{2} - (12 b x - 27) {{(b x^{2} - \frac{9}{2} x + 3)}^{2}}^{'}}{{{(b x^{2} - \frac{9}{2} x + 3)}^{2}}^{2}}$

$= - \frac{12 b {(b x^{2} - \frac{9}{2} x + 3)}^{2} - (12 b x - 27) \cdot 2 (b x^{2} - \frac{9}{2} x + 3) \cdot (2 b x - \frac{9}{2})}{{(b x^{2} - \frac{9}{2} x + 3)}^{4}}$

よって

$f^{″} (0) = - 3 \sin 0$ $= 0$

$g^{″} (0) = \frac{12 b {(b \cdot 0^{2} - \frac{9}{2} \cdot 0 + 3)}^{2}}{{(b \cdot 0^{2} - \frac{9}{2} \cdot 0 + 3)}^{4}}$ $- \frac{(12 b \cdot 0 - 27) \cdot 2 (b \cdot 0^{2} - \frac{9}{2} \cdot 0 + 3) (2 b \cdot 0 - \frac{9}{2})}{{(b \cdot 0^{2} - \frac{9}{2} \cdot 0 + 3)}^{4}}$

$= \frac{12 b \cdot 3^{2} - (- 27) \cdot 2 \cdot 3 \cdot (- \frac{9}{2})}{3^{4}}$

$= \frac{108 b - 729}{81}$

$= \frac{4 b - 27}{3}$

条件 $f^{″} (0) = g^{″} (0)$ より

$0 = \frac{4 b - 27}{3}$

$b = \frac{27}{4}$

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最終更新日： 2023年10月9日