微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = 3 \cdot 5 x^{4} - 3 x$ $y = 3 \cdot 5 {}^{x^{4} - 3 x}$

$y^{'} = 3 \cdot 5^{x^{4} - 3 x} (4 x^{3} - 3) log 5$ $y^{'} = 3 \cdot 5^{x^{4} - 3 x} (4 x^{3} - 3) \log 5$

指数関数の底を $e$ $e$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

{(a^{x})}^{'} = {(e^{log a^{x}})}^{'} = e^{x log a}

${(a^{x})}^{'} = {(e^{\log a^{x}})}^{'} = e^{x \log a}$

の式を用いる．

また，合成関数の微分の公式を利用して解く．

$y = 3 \cdot 5^{x^{4} - 3 x} = 3 \cdot e^{(x^{4} - 3 x) log 5}$ $y = 3 \cdot 5^{x^{4} - 3 x} = 3 \cdot e^{(x^{4} - 3 x) \log 5}$

$u = (x^{4} - 3 x) log 5$ $u = (x^{4} - 3 x) \log 5$ とおく.

$y = e^{u}$ $y = e^{u}$

$y^{'} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $y^{'} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$= 3 e^{u} \cdot (4 x^{3} - 3) log 5$ $= 3 e^{u} \cdot (4 x^{3} - 3) \log 5$

$= 3 e^{(x^{4} - 3 x) log 5} \cdot (4 x^{3} - 3) log 5$ $= 3 e^{(x^{4} - 3 x) \log 5} \cdot (4 x^{3} - 3) \log 5$

$= 3 \cdot 5^{x^{4} - 3 x} \cdot (4 x^{3} - 3) log 5$ $= 3 \cdot 5^{x^{4} - 3 x} \cdot (4 x^{3} - 3) \log 5$

$(∵ e^{(x^{4} - 3 x) log 5} = e^{log 5^{x^{4} - 3 x}} = 5^{x^{4} - 3 x})$ $(∵ e^{(x^{4} - 3 x) \log 5} = e^{\log 5^{x^{4} - 3 x}} = 5^{x^{4} - 3 x})$

の両辺の自然対数をとる．

$\log y = \log 3 \cdot 5^{x^{4} - 3 x}$

$\log y = \log 3 + (x^{4} - 3 x) \log 5$

両辺を $x$ で微分する．

$\frac{d}{d x} (\log y) = \frac{d}{d x} {\log 3 + (x^{4} - 3 x) \log 5}$

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d}{d x} = (4 x^{3} - 3) \log 5$

$\frac{d y}{d x} = y \cdot (4 x^{3} - 3) \log 5 = 3 \cdot 5^{x^{4} - 3 x} (4 x^{3} - 3) \log 5$

$z = \log y$

とおく．

$\frac{d}{d x} (\log y) = \frac{d z}{d x}$ $= \frac{d z}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}$ $= \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}$

$z$ を

$z = \log y$ ， $y = 7^{x^{3} - x}$

の合成関数と考えている．

最終更新日： 2023年10月9日