微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\frac{x}{x+\sqrt{x^2+1}}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}^2\sqrt{x^2+1}}}$

■ヒント

商の微分の公式,合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle =\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-x\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)}{{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-x-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{x^2+1-x^2}{{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}^2\sqrt{x^2+1}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}^2\sqrt{x^2+1}}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2022年5月5日