微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = 7^{x^{3} - x}$

$y^{'} = 7^{x^{3} - x} (3 x^{2} - 1) \log 7$

指数関数の底を $e$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

{(a^{x})}^{'} = {(e^{\log a^{x}})}^{'} = e^{x \log a}

の式を用いる．

そして，合成関数の微分の公式を利用して解く．

あるいは，対数微分法を用いる方法もある．

$y = 7^{x^{3} - x}$ $= e^{(x^{3} - x) \log 7}$

$u = (x^{3} - x) \log 7$ とおく.

$y = e^{u}$

$y^{'} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$= e^{u} \cdot (3 x^{2} - 1) \log 7$

$= e^{(x^{3} - x) \log 7} \cdot (3 x^{2} - 1) \log 7$

$= 7^{x^{3} - x} (3 x^{2} - 1) \log 7$

（ $∵ e^{(x^{3} - x) \log 7} = e^{\log 7^{x^{3} - x}} = 7^{x^{3} - x}$ ）

$y = 7^{x^{3} - x}$

の両辺の自然対数をとる．

$\log y = \log 7^{x^{3} - x}$

$\log y = (x^{3} - x) \log 7$

両辺を $x$ で微分する．

$\frac{d}{d x} (\log y) = \frac{d}{d x} {(x^{3} - x) \log 7}$

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = (3 x^{2} - 1) \log 7$

$\frac{d y}{d x} = y \cdot (3 x^{2} - 1) \log 7 = 7^{x^{3} - x} \log 7$

$z = \log y$

とおく．

$\frac{d}{d x} (\log y) = \frac{d z}{d x}$ $= \frac{d z}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}$ $= \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}$

$z$ を

$z = \log y$ ， $y = 7^{x^{3} - x}$

の合成関数と考えている．

最終更新日： 2023年10月9日