微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = 4^{x}$

$y^{'} = 4^{x} log 4$

指数関数の底を $e$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

{(a^{x})}^{'} = {(e^{\log a^{x}})}^{'} = e^{x \log a}

の式を用いる．

$y = 4^{x}$

$y^{'} = {(e^{\log 4^{x}})}^{'}$

( $4^{x} = e^{\log 4^{x}}$ と変形する．)

$= {(e^{x log 4})}^{'}$ $= e^{x \log 4} {(x \log 4)}^{'}$ $= e^{x log 4} log 4$ $= 4^{x} log 4$

（ $∵$ $e^{x \log 4} = e^{\log 4^{x}} = 4^{x}$ ）

${(e^{x \log 4})}^{'}$ を詳しく説明する．

$y = e^{x \log 4}$ を(1)，(2)の合成関数と考える．

$y = e^{u}$ ･･････(1)

$u = x \log 4$ ･･････(2)

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ ･･････(3)

を用いる

$\frac{d y}{d u} = e^{u}$ ここを参照　･･････(4)

$\frac{d u}{d x} = \frac{d}{d x} x \log 4$ $= \frac{d}{d x} (\log 4) x$ $= \log 4$ ･･････(5)

(3)に(4)，(5)を代入する．

$\frac{d y}{d x} = e^{u} \log 4$ $= e^{x \log 4} \log 4$ $= 4^{x} \log 4$

$y = 4^{x}$

の両辺の自然対数をとる．

$\log y = \log 4^{x}$

$\log y = x \log 4$ （∵対数の性質： $\log_{a} R^{t} = t \log_{a} R$ ）

両辺を $x$ で微分する．

$\frac{d}{d x} (\log y) = \frac{d}{d x} (x \log 4)$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \log 4$

$\frac{d y}{d x} = y \log 4$ $= 4^{x} \log 4$

$z = \log y$

とおく．

$\frac{d}{d x} (\log y) = \frac{d z}{d x}$ $= \frac{d z}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}$ $= \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}$

$z$ を

$z = \log y$ ， $y = 4^{x}$

の合成関数と考えている．

最終更新日： 2025年2月20日