問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ.

y= 4 x

■答

y = 4 x log 4  

■ヒント

指数関数の底を e に変換してから指数関数の微分の公式より,微分する.

( a x ) = ( e log a x ) = e xloga      

の式を用いる.

■解説

y= 4 x

y = e log 4 x

( 4 x = e log 4 x 変形する.)

= ( e xlog4 ) = e xlog4 ( xlog4 ) = e xlog4 log4 = 4 x log 4

e xlog4 = e log 4 x = 4 x

e xlog4 を詳しく説明する.

y= e xlog4 を(1),(2)の合成関数と考える.

y= e u  ・・・・・・(1)

u=xlog4  ・・・・・・(2)

合成関数の微分の公式

dy dx = dy du du dx  ・・・・・・(3)

を用いる

dy du = e u  ここを参照  ・・・・・・(4)

du dx = d dx xlog4 = d dx log4 x =log4  ・・・・・・(5)

(3)に(4),(5)を代入する.

dy dx = e u log4 = e xlog4 log4 = 4 x log4

●別解

対数微分法を用いる.

y= 4 x

の両辺の自然対数をとる.

logy=log 4 x

logy=xlog4  (∵対数の性質 log a R t =t log a R

両辺を x で微分する.

d dx ( logy )= d dx ( xlog4 )

1 y dy dx =log4

dy dx =ylog4 = 4 x log4

【備考】

z=logy

とおく.

d dx ( logy )= dz dx = dz dy dy dx = 1 y dy dx

z

z=logy y= 4 x  

の合成関数と考えている.


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最終更新日: 2024年7月12日

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