次の問題を微分せよ.
y= 7 x 3 −x
y ′ = 7 x 3 −x ( 3 x 2 −1 )log7
指数関数の底を e に変換してから指数関数の微分の公式より,微分する.
の式を用いる.
また,合成関数の微分の公式を利用して解く.
y= 7 x 3 −x = e ( x 3 −x )log7
u=( x 3 −x )log7 とおく.
y= e u
y ′ = dy du · du dx
= e u ·( 3 x 2 −1 )log7
= e ( x 3 −x )log7 ·( 3 x 2 −1 )log7
= 7 x 3 −x ( 3 x 2 −1 )log7
( ∵ e ( x 3 −x )log7 = e log 7 x 3 −x = 7 x 3 −x )
対数微分法を用いる.
の両辺の自然対数をとる.
logy=log 7 x 3 −x
logy=( x 3 −x)log7
両辺を x で微分する.
d dx ( logy )= d dx { ( x 3 −x )log7 }
1 y · dy dx =( 3 x 2 −1 )log7
dy dx =y·( 3 x 2 −1 )log7= 7 x 3 −x log7
z=logy
とおく.
d dx ( logy )= dz dx = dz dy ⋅ dy dx = 1 y ⋅ dy dx
z を
z=logy , y= 7 x 3 −x
の合成関数と考えている.
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最終更新日: 2023年10月9日
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