基本的な関数の微分 ${\displaystyle \frac{1}{x}}$

■問題

次の関数の導関数を微分の公式および導関数の定義式を用いて求めよ． 

${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}}$

■答

${\displaystyle f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}}$

■解説

${\displaystyle \begin{array}{ll}f\left(x\right)\hfill & =\frac{1}{x}\hfill \\ \hfill & =x^{-1}\hfill \end{array}}$

と表すことができる．

●公式を用いた計算

微分の公式を用いると，

${\displaystyle \begin{array}{ll}{f}^{\prime }\left(x\right)\hfill & =-1·x^{-1-1}\hfill \\ \hfill & =-x^{-2}\hfill \\ \hfill & =-\frac{1}{x^2}\hfill \end{array}}$

となる．

●導関数の定義を用いた計算

導関数の定義式を利用すると，

${\displaystyle \begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)\hfill & =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\hfill \\ \hfill & =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f\left(\frac{1}{x+\Delta x}\right)-f\left(\frac{1}{x}\right)}{\Delta x}\hfill \\ \hfill & =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}\hfill \\ \hfill & =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\frac{x-(x+\Delta x)}{(x+\Delta x)x}}{\Delta x}\hfill \\ \hfill & =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{-\Delta x}{(x+\Delta x)x\Delta x}\hfill \\ \hfill & =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{-1}{(x+\Delta x)x}\hfill \\ \hfill & =-\frac{1}{x^2}\hfill \end{array}}$

となる．

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最終更新日： 2021年3月22日