フーリエ級数

■問題

周期関数 $f (x) = x$ 　( $- l ≦ x < l$ ) ， $f (x) = f (x + 2 l)$ のフーリエ級数を求めよ．

■ヒント

フーリエ係数

$a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) d x$

$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x$ 　　　　( $n = 1, 2, 3 \cdot \cdot \cdot$ )

$b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x$ 　　　　( $n = 1, 2, 3 \cdot \cdot \cdot$ )

を求める

■解き方

$a_{0} = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) d x$

$= \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} x d x$

$= \frac{1}{2 l} {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{- l}^{l}$

$= \frac{1}{2 l} {\frac{1}{2} l^{2} - \frac{1}{2} {(- l)}^{2}}$

$= 0$

$a_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) \cos \frac{n π}{l} x d x$

$f (x) = x$ は奇関数．よって $f (x) \cos \frac{n π}{l} x$ は奇関数となる．

したがって

$a_{n} = 0$ 　

となる．

$b_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) \sin \frac{n π}{l} x d x$

$f (x) = x$ 奇関数．よって $f (x) \sin \frac{n π}{l} x$ は偶関数となる．

したがって

$b_{n} = \frac{1}{l} \cdot 2 \int_{0}^{l} x \sin \frac{n π}{l} x d x$

$= \frac{2}{l} \int_{0}^{l} x {(- \frac{l}{n π} \cos \frac{n π}{l} x)}^{'} d x$

$= \frac{2}{l} {{[- \frac{l}{n π} x \cos \frac{n π}{l} x]}_{0}^{l} - \int_{0}^{l} 1 \cdot (- \frac{l}{n π} \cos \frac{n π}{l} x) d x}$

$= \frac{2}{l} [- \frac{l}{n π} {{(- 1)}^{n} - 0} + \frac{l}{n π} \int_{0}^{l} \cos \frac{n π}{l} x d x]$

$= - \frac{2}{n π} {(- 1)}^{n} + \frac{2}{n π} {[\frac{l}{n π} \sin \frac{n π}{l}]}_{l 0}^{l}$

$= - \frac{2}{n π} {(- 1)}^{n}$

$f (x) \sim a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos \frac{n π}{l} x + b_{n} \sin \frac{n π}{l} x)$

$\sim \frac{2}{π} (\sin \frac{π}{l} x - \frac{1}{2} \sin \frac{2 π}{l} x + \frac{1}{3} \sin \frac{3 π}{l} x - \frac{1}{4} \sin \frac{4 π}{l} x + \dots)$

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最終更新日： 2023年7月7日