問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

フーリエ級数の問題

■問題

周期関数

${\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|}$   ${\displaystyle \left(-\pi \leqq x\leqq \pi \right)}$，${\displaystyle f\left(x+2\pi \right)=f\left(x\right)}$

のフーリエ級数を求めよ．

■答

■ヒント

フーリエ係数

${\displaystyle a_0=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)cosnxdx}$ 　　　　(${\displaystyle n=1,2,3···}$ )

${\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)sinnxdx}$ 　　　　(${\displaystyle n=1,2,3···}$ )

を求める．

■解説

${\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|}$   ${\displaystyle \left(-\pi \leqq x\leqq \pi \right)}$  

を書き換えると

${\displaystyle f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-x\\ x\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}\left(-\pi \leqq x\leqq 0\right)\\ \left(0\leqq x\leqq \pi \right)\end{array}}$

となる．

${\displaystyle a_0=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }\left\{{\displaystyle {\int }_{-\pi }^0\left(-x\right)dx+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }xdx}}\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }\left\{{\left[-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{-\pi }^0+{\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^{\pi }\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }\left(\frac{1}{2}{\pi }^2+\frac{1}{2}{\pi }^2\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }·{\pi }^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\pi }$

　

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos nxdx}}$

${\displaystyle f(x)}$ が偶関数なので、 ${\displaystyle f(x)=\cos x}$ も偶関数である(偶関数の積分を参照)．よって

${\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\pi }x\cos nxdx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\pi }x{\left(\frac{1}{n}\sin nx\right)}^{\prime }dx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{\pi }\left\{0-\frac{1}{n}{\left[-\frac{1}{n}\cos nx\right]}_0^{\pi }\right\}}$

${\displaystyle =\frac{2}{\pi }·\frac{1}{n^2}\left(\cos n\pi -1\right)}$

${\displaystyle =\frac{2}{\pi n^2}\left\{{\left(-1\right)}^n-1\right\}}$

${\displaystyle =\{\begin{array}{c}0\\ -\frac{4}{\pi n^2}\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}\left(n\text{が偶数のとき}\right)\\ \left(n\text{が奇数のとき}\right)\end{array}}$

　

${\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin nxdx}}$

${\displaystyle f\left(x\right)}$ が偶関数なので、 ${\displaystyle f\left(x\right)\sin nxdx}$ は奇関数である(奇関数の積分を参照) ．よって

$=0$

以上より

　

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最終更新日： 2023年7月7日

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