フーリエ級数の問題

■問題

$f (x) = \{\begin{matrix} 2 & (- 2 ≦ x < 0) \\ 2 - x & (0 ≦ x < 2) \end{matrix}$ ， $f (x + 4) = f (x)$

■解答

$f (x) \sim \frac{3}{2} + \frac{4}{π^{2}} (\cos \frac{π}{2} x + \frac{1}{3^{2}} \cos \frac{3 π}{2} x + \frac{1}{5^{2}} \cos \frac{5 π}{2} x + \dots \dots)$ $+ \frac{2}{π} (- \sin \frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin \frac{2 π}{2} x - \frac{1}{3} \sin \frac{3 π}{2} x + \dots \dots)$

■ヒント

フーリエ係数

$a_{0} = \frac{1}{ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (x) x d x$ 　　

$a_{n} = \frac{1}{ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (x) \cos \frac{n π}{ℓ} x d x$ 　　　　( $n = 1, 2, 3 \dots$ )

$b_{n} = \frac{1}{ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (x) \sin \frac{n π}{ℓ} x d x$ 　　　　 ( $n = 1, 2, 3 \dots$ )

を求める

■解き方

$a_{0} = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) d x$

$= \frac{1}{2 \cdot 2} {\int_{- 2}^{0} 2 d x + \int_{0}^{2} (2 - x) d x}$

$= \frac{1}{4} {2 {[x]}_{- 2}^{0} + {[2 x - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{2}}$

$= \frac{1}{4} {4 + 4 - \frac{1}{2} \cdot 4}$

$= \frac{6}{4}$

$= \frac{3}{2}$

$a_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) \cos \frac{n π}{2} x d x$

$= \frac{1}{2} {\int_{- 2}^{0} 2 \cos \frac{n π}{2} x d x + \int_{0}^{2} (2 - x) \cos \frac{n t}{2} x d x}$

$= \frac{1}{2} {2 {[\frac{2}{n π} \sin \frac{n π}{2} x]}_{- 2}^{0} + {[(2 - x) \frac{2}{n π} \sin \frac{n π}{2} x]}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} (- 1) \frac{2}{n π} \sin \frac{n π}{2} x}$

$= \frac{1}{2} {\frac{4}{n π} (0 - 0) + (0 - 0) + \frac{2}{n π} {[- \frac{2}{n π} \cos \frac{n π}{2} x]}_{0}^{2}}$

$= \frac{1}{2} (- \frac{4}{n^{2} π^{2}}) (\cos n π - 1)$

$= - \frac{2}{n^{2} π^{2}} {{(- 1)}^{n} - 1}$

$= \{\begin{matrix} 0 & (n が偶数のとき) \\ \frac{4}{n^{2} π^{2}} & (n が奇数のとき) \end{matrix}$

$b_{n} = \frac{1}{2} \int_{- l}^{l} f (x) \sin \frac{n π}{2} x d x$

$= \frac{1}{2} {\int_{- 2}^{0} 2 \sin \frac{n π}{2} x d x + \int_{0}^{2} (2 - x) \sin \frac{n π}{2} x d x}$

$= \frac{1}{2} {2 {[- \frac{2}{n π} \cos \frac{n π}{2} x]}_{- 2}^{0} + {[(2 - x) (- \frac{2}{n π} \cos \frac{n π}{2})]}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} (- 1) (- \frac{2}{n π} \cos \frac{n π}{2}) d x}$

$= \frac{1}{2} {2 (- \frac{2}{n π}) (1 - \cos (- n π)) - 2 (- \frac{2}{n π}) - \frac{2}{n π} {[\frac{2}{n π} \sin \frac{n π}{2}]}_{0}^{2}}$

$= \frac{1}{2} {- \frac{4}{n π} (1 - {(- 1)}^{n}) + \frac{4}{n π} - 0}$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{n π} \cdot {(- 1)}^{n}$

$= \frac{2}{n π} \cdot {(- 1)}^{n}$

$f (x) \sim a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos \frac{n π}{2} + b_{n} \sin \frac{n π}{2} x)$

$\sim \frac{3}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{2}{n^{2} π^{2}} {{(- 1)}^{n} - 1} \cos \frac{n π}{2} x + \frac{2}{n π} {(- 1)}^{n} \sin \frac{n π}{2} x)$

$\sim \frac{3}{2} + \frac{4}{π^{2}} (\cos \frac{π}{2} x + \frac{1}{3^{2}} \cos \frac{3 π}{2} x + \frac{1}{5^{2}} \cos \frac{5 π}{2} x + \dots \dots)$ $+ \frac{2}{π} (- \sin \frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin \frac{2 π}{2} x - \frac{1}{3} \sin \frac{3 π}{2} x + \dots \dots)$

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>> フーリエ級数・変換に関する問題>>フーリエ級数の問題

最終更新日： 2023年7月6日