複素数の計算

■問題

この問題の解を利用して， ${\displaystyle {\left(1+\sqrt{3}i\right)}^9}$ を計算せよ．

■解

${\displaystyle -512}$

■解説

${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$ の極形式はこの問題より

${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$${\displaystyle =2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}$

となる．

ド・モアブルの定理を用いると

${\displaystyle {\left(1+\sqrt{3}i\right)}^9={\left\{2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)\right\}}^9}$

${\displaystyle =2^9\left\{\cos \left(\frac{\pi }{3}\times 9\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{3}\times 9\right)\right\}}$

${\displaystyle =512\left(\cos 3\pi +i\sin 3\pi \right)}$

${\displaystyle =512\left(-1+0\right)=-512}$

 

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最終更新日： 2023年2月25日