ケーリー・ハミルトンの定理の具体例

■問題

行列 ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a\hfill & b\hfill \\ c\hfill & d\hfill \end{array}\right)}$ が ${\displaystyle A^2-4A+3E=O}$ を満たすとき， ${\displaystyle a+d}$ , ${\displaystyle ad-bc}$ の値を求めよ．

■答

${\displaystyle (a+d,ad-bc)=(2,1),(4,3),(6,9)}$ 

■解説

${\displaystyle a+d=p}$ , ${\displaystyle ad-bc=q}$ とおく．

行列${\displaystyle A}$ について，ケーリー・ハミルトンの定理より

${\displaystyle A^2-pA+qE=O}$

が成り立つ．

よっ

${\displaystyle A^2=pA-qE}$ ･･････(1)

(1)を

${\displaystyle A^2-4A+3E=O}$ ･･････(2)

に代入する

${\displaystyle (p-4)A-(q-3)E=O}$ ･･････(3)

となる．

${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle p=4}$ のとき

(3)から

${\displaystyle q=3}$

[2]${\displaystyle p\ne 4}$ のとき

(3)から

${\displaystyle A=\frac{q-3}{p-4}E}$　･･････(4)

となり

${\displaystyle \frac{q-3}{p-4}=k}$　･･････(5)

とおくと

${\displaystyle A=kE}$　･･････(6)  

となる．(6)を(2)に代入すると

${\displaystyle (k^2-4k+3)E=O}$

が得られる．よって

${\displaystyle k^2-4k+3=0}$

となる．これを解くと

${\displaystyle k=1,3}$

が得られる．したがって

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1\hfill & 0\hfill \\ 0\hfill & 1\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}3\hfill & 0\hfill \\ 0\hfill & 3\hfill \end{array}\right)}$

${\displaystyle p=2,q=1;p=6,q=9}$

となる．

以上より

${\displaystyle (a+d,ad-bc)=(2,1),(4,3),(6,9)}$

となる．

 

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最終更新日： 2016年12月3日