問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な行列の問題

■問題

２次正方行列${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$ に対して，${\displaystyle T\left(A\right)=a+d}$ ，${\displaystyle \Delta \left(A\right)=ad-bc}$ とおく．

・ ${\displaystyle T\left(A^2\right)}$ を${\displaystyle T\left(A\right)}$ と${\displaystyle \Delta \left(A\right)}$ を用いて表わせ．

・${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle \Delta \left(A\right)=1}$ かつ${\displaystyle A^4=E}$ を満たすとする．

(1)${\displaystyle T\left(A\right)}$ の値をすべて求めよ．

(2)${\displaystyle T\left(A\right)\ne 0}$ となる${\displaystyle A}$ をすべて求めよ．

■答

${\displaystyle T\left(A^2\right)={\left\{T\left(A\right)\right\}}^2-2\Delta \left(A\right)}$

(1) ${\displaystyle T\left(A\right)=0,\pm 2}$

(2) ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)}$

■計算

・ ${\displaystyle T\left(A^2\right)}$ を${\displaystyle T\left(A\right)}$ と${\displaystyle \Delta \left(A\right)}$ を用いて表わせ．

${\displaystyle A^2}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)}$

よって

${\displaystyle T\left(A^2\right)}$${\displaystyle =a^2+d^2+2bc}$

${\displaystyle ={\left(a+d\right)}^2+2\left(bc-ad\right)}$

${\displaystyle {=\left\{T\left(A\right)\right\}}^2-2\Delta \left(A\right)}$

 

・${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle \Delta \left(A\right)=1}$ かつ${\displaystyle A^4=E}$を満たすとする．

(1)${\displaystyle \Delta \left(A\right)=1}$ ，${\displaystyle A^4=E}$ から

${\displaystyle T\left(A^4\right)=T\left(E\right)=2}$　･･････(i)

ここで，${\displaystyle T\left(A\right)=t}$ とおくと

${\displaystyle T\left(A^4\right)}$${\displaystyle =T\left({\left(A^2\right)}^2\right)}$

${\displaystyle ={\left\{T\left(A^2\right)\right\}}^2-2\Delta \left(A^2\right)}$

${\displaystyle ={\left[{\left\{T\left(A\right)\right\}}^2-2\Delta \left(A\right)\right]}^2-2{\left\{\Delta \left(A\right)\right\}}^2}$

${\displaystyle \Delta \left(A\right)=1}$ ，${\displaystyle T\left(A\right)=t}$を代入する．

${\displaystyle ={\left(t^2-2\right)}^2-2}$　･･････(ii)

(i)，(ii)より

${\displaystyle {\left(t^2-2\right)}^2-2=2}$

よって

${\displaystyle t^2-2=\pm 2}$

ゆえに

${\displaystyle t=0,\pm 2}$

すなわち

${\displaystyle T\left(A\right)=0,\pm 2}$

(2)${\displaystyle t=2}$ のときケーリー・ハミルトンの定理により

${\displaystyle A^2-2A+E=0}$

よって

${\displaystyle A^2=2A-E}$　･･････(iii)

これを${\displaystyle A^4=E}$ に代入すると

${\displaystyle {\left(2A-E\right)}^2=E}$

よって

${\displaystyle 4A^2-4A+E=E}$

ゆえに

${\displaystyle A^2=A}$

(iii)に代入して${\displaystyle A=E}$

${\displaystyle t=-2}$ のとき

${\displaystyle A^2+2A+E=0}$

よって

${\displaystyle A^2=-2A-E}$　･･････(iv)

これを${\displaystyle A^4=E}$ に代入して

${\displaystyle 4A^2+4A+E=E}$

ゆえに

${\displaystyle A^2=-A}$

(iv)に代入して${\displaystyle A=-E}$

以上より

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)}$

 

ホーム>>カテゴリー別分類>>行列>>行列に関する演習問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2024年10月7日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)