基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}2& 4& -2& 1\\ -1& -1& 2& 3\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 9\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle 76}$

■計算

行列式の計算手順1を参考に行列式の次数を下げていく。

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}2& 4& -2& 1\\ -1& -1& 2& 3\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 9\end{array}\right|}$

行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このとき符号が変わる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}-1& -1& 2& 3\\ 2& 4& -2& 1\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 9\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2,3行+1行×2,4行+1行×1の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}-1& -1& 2& 3\\ 0& 2& 2& 7\\ 0& 4& 8& 8\\ 0& 2& 5& 12\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて,行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left(-1\right)\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 7\\ 4& 8& 8\\ 2& 5& 12\end{array}\right|}$

定数倍の性質を用いて2行から4をくくりだす．

${\displaystyle =4\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 7\\ 1& 2& 2\\ 2& 5& 12\end{array}\right|}$

行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このとき符号が変わる．

${\displaystyle =-4\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 2& 7\\ 2& 5& 12\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-2)，3行+1行×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =-4\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& -2& 3\\ 0& 1& 8\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて,行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-4\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 1& 8\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-4\left(-16-3\right)}$

${\displaystyle =76}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日